対数方程式は「暗記」ではなく「確信」で解こう — 2通りの解法比較
はじめに
生徒さんを教えていたとき、「なるほど、そういうアプローチもあるのだな」と感じた場面がありました。そこで今回は、それを紹介したいと思います。
題材はとても基本的な対数の計算問題です。ただし、単なる計算テクニックではなく、ちょっとした心構えをお伝えできればと思っています。
【問題】
次の方程式を解け。
\( \log _{3}x+\log _{3}\left( x-2\right) =1 \)【解法1】オーソドックスな手順
まずは、多くの参考書に載っている標準的な解法です。
1. 真数条件を確認する。
真数条件より、
\( x > 0 かつ x-2 > 0 より、 x>2 \) ・・・①2. 底をそろえる。
\(\log _{3}x(x-2) = \log _{3}3 \) ・・・②3. ②式より、対数を外す。
\(x\left( x-2\right) =3 \) ・・・③4. ③式を変形して因数分解する。
\( x^{2} - 2x - 3 = 0 \) \( (x-3)(x+1) = 0 \) よって \( x=3, -1 \) ・・・④5. 真数条件①と照らし合わせる。
①,④より \( x=3 \) これが解答になります。【解法2】因数分解の発想を使う別解
ここで、ほんのちょっと違う計算処理を紹介します。
真数条件までは同じですが、②から③へ進む計算が少しだけ異なります。問題の式を見たとき、中学校で行った因数分解を思い出しませんか。そうすると、ごく自然に右辺を0にするという式変形を行うはずです。
1. 右辺を左辺へ移項する。
\( \log _{3}x+\log _{3}\left( x-2\right) - 1 = 0 \)2. 底をそろえ、対数の公式を使ってまとめる。
\( \log _{3}x+\log _{3}\left( x-2\right) - \log _{3}3 = 0 \) \( \log _{3} \dfrac{x\left( x-2\right) }{3} = 0 \) ・・・⑤3.「対数の値が0になるとき」を、グラフから読み取る。
ここで一瞬、鉛筆が止まってしまうかもしれません。しかし、対数を取ったときに0になるのは、真数が1のときだと、グラフから分かります。
結局、底をそろえることになり、次の式になります。
4. 対数を外して③にたどり着く。
\( \dfrac{x\left( x-2\right) }{3} = 1 \)これは、先ほどの③と同じ式です。少々まどろっこしいですが、確実に解けます。
この問題で本当に伝えたかったこと
お伝えしたかったのは、次の点です。
式変形は公式にのっとって行っており、どのルートを通っても「等価」であるということです。だからこそ、自分なりの式変形でも解けるのだと、ある意味で確信をもって解き進めてほしいと思います。それは、「自分の解き方は問題ない」という自信です。
そういった経験を積んだうえで、最初に紹介したオーソドックスな手順で解答するようになっていくのは、とても良いことだと思います。
ただ、自分が選んだ方法がこの解法2で、途中で諦めて参考書の解答を見て「解き方」を覚えるというのは感心できません。それは問題ごとに解法を暗記する行為につながりかねず、「数学はいろいろ暗記しなければならない」という錯覚や思い込みに陥るからです。
（ちなみに、この解法2で解いてくれた生徒さんは、最後までしっかりと解答していました。）
【補足】そもそも対数とは何だったか
蛇足になりますが、そもそも対数とは何だったかを考えると、下式のように指数関数で表現されたものを、単純に対数関数に置き換えただけです。
\( Y = a^{X} <=> X = log _a{Y} \) ⑤式と \( X = log _a{Y} \) を見比べると、 \( X=0, a = 3, Y=\dfrac{x\left( x-2\right) }{3} \) よって、 \( Y=a^{x} \) に代入すると、\( \dfrac{x\left( x-2\right) }{3} = 3^{0} \)これも③に戻ります。
まとめ
対数方程式では、まず真数条件（①）を確認する。
底をそろえて対数を外せば、どんな式変形ルートでも同じ③にたどり着く。
「対数の値が0 ⇔ 真数が1」は、グラフから直感的に理解できる。
大切なのは解法の暗記ではなく、自分の変形に確信をもつこと。
